Metode Runge-Kutta (RK)

Runge-kutta merupakan sebuah metode langkah tunggal yang lebih teliti dibandingkan dari metode Euler. Metode ini dapat ditulis : 

y_i+1 = y₁ + hФ (x_i, y_i , h) dengan hФ (x_i , y_i , h)

disebut fungsi penambah.

Metode ini memperkirakan turunan pada berbagai titik dalam interval dan kemudian menghitung turunan rata-rata terbobot (weighthed average derivative). Metode Runge-kutta diklasifikasikan oleh urutan, urutan tersebut tergantung pada jumlah perkiraan kemiringan yang digunakan pada setiap langkah. Metode.

Asumsikan      y’ = g(x,y)

                        y_n = y_n-1 + aK₁ + bK₂

                                K₁ = g(x_n-1,y_n-1)Δx

                        K₂ = g(x_n-1αΔx,y_{n-1 +} βK₁)Δx

 

α, b, α dan β = konstant yang memenuhi batasan.

Berikut α + b = 1..., nα = 1/2 , dan bβ = 1/2

Metoda yang paling popular untuk menyelesaikan adalah fourth-order Runge-Kutta

Method. K₁ dan K₄ adalah perkiraan tingkat kemiringan yang dihitung pada titik akhir interval

[x_n-1, x_n]. K₁ dan K₃ adalah perkiraan tingkat kemiringan yang dihitung pada titik tengah interval.

Metode Runge-Kutta Orde 2

Ф = ak₁ + bk₂

Dengan            K₁ = f(x_i, y_i)

                        K₂ = f(x_i + ph, qhf (x_i, y_i) + y_i)

Dimana a, b, p, q akan ditentukan kemudian.

Metode runge-Kutta dikatakan sebagai metode ‘prediktor-corrector’

1.      Langkah predictor :

a.       Prakirakan y_i+1 dengan metode Euler

b.      Slope (y’) dititik (x_i+1 ,y_i+1 ) adalah f (x_i+1 ,y_i+1 )

2.      Langkah Korektor :

a.       Hitung slope (y’) dititik (x_i, y_i) yaitu f(x_i, y_i)

b.      Hitung slope rata-rata = (slope 1.b + slope 2.a)/2

c.       Hitung y_i+1 = y_i+hx hasil 2.b

Untuk b = 1, a = 0, p = q = 1/2

y_i+1 = y_i+ hf (x₁ +1/2h, y_i +1/2hf (x_i, y_i))

Metode Runge-Kutta Orde 4

Langkah 1. Bagi interval x₀ ≤ x ≥ b menjadi p subinterval dengan menggunakan titiktitik

yang dibagi secara sama.

X_{1 =} x₀ + Δx

X₂ = x₁ + Δx

.

.

X_p = x_p-1 + Δx = b

Langkah 2. Untuk n = 1, 2, 3, ....p ; cari pendekatan urutan berikut :